Александр Суворов родился 4 ноября 1957 года в городе Благовещенске Амурской области. Получил высшее образование в Благовещенском сельскохозяйственном институте. После окончания ВУЗа начал трудовую деятельность в 1982 году экономистом совхоза «Егорьевский» Благовещенского района, позднее работал в областном объединении «Амурплодоовощхоз».

В 1984 году перешел на работу в Амурский областной совет профсоюзов, где до 2001 года прошел трудовой путь от инструктора отдела по вопросам агропромышленного комплекса до управляющего делами Федерации профсоюзов области.

В 2001 году избран заместителем Председателя Федерации профсоюзов Амурской области.

В 2008 году избран Председателем Федерации профсоюзов Амурской области.

Постановлением Губернатора Амурской области утвержден в первый состав Общественной палаты Амурской области. Возглавлял комиссию Общественной палаты области по общественному контролю за соблюдением прав и свобод человека и гражданина, вопросам общественной безопасности и правопорядка. Впоследствии неоднократно избирался членом Общественной палаты Амурской области.

Правительством Амурской области Александр Суворов был делегирован в Совет Федерации. Член Совета Федерации Федерального Собрания Российской Федерации от Амурской области с сентября 2015 по сентябрь 2018 года. Входил в Комитет СФ по обороне и безопасности.

С 2008 года по 2020 год переизбирался председателем Федерации профсоюзов Амурской области.